CONHECIMENTOS BANCÁRIOS

CONCURSO BB - BANCO DO BRASIL - 2021 - ESCRITURÁRIO

Parte 1. CONHECIMENTOS BÁSICOS - AGENTE DE TECNOLOGIA e AGENTE COMERCIAL

PARTE 1.3. MATEMÁTICA

PARTE 1.3.11. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS  (Revisada em 09-03-2024)

1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS PRÁTICOS
   1. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
      1. NOTA DO COSIFE
      2. TERMO GERAL DA PA
      3. SOMA DOS TERMOS DA PA
      4. EXEMPLO DE PA
   2. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
      1. NOTA DO COSIFE
      2. TERMO GERAL DA PG
      3. SOMA DOS TERMOS DA PG
      4. SOMA DE INFINITOS TERMOS DA PG
2. INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES
   1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
   2. EXPLICAÇÕES, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS DO SITE BRASIL ESCOLA - UOL

Por Américo G Parada Fº - Contador - Coordenador do COSIFE - ex Auditor do Banco Central do Brasil

1.1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

1. NOTA DO COSIFE
2. TERMO GERAL DA PA
3. SOMA DOS TERMOS DA PA
4. EXEMPLO DE PA

1.1.1. NOTA DO COSIFE

Aqui as fórmulas são apresentadas como nas Planilhas e nas Máquinas Calculadoras Eletrônicas. Essa nova forma de apresentação as expressões leva em conta que estamos na ERA DIGITAL. Logo, o * (asterisco) representa a multiplicação e a / (barra) representa a divisão.

As expressões algébricas ficarão entre {  [  (  )  ]  } começando-se a resolução do problema pelo que estiver dentro dos ( parênteses ), depois, dentro dos [ colchetes ], em seguida pelo que estiver dentro das { chaves } e, por último, pelo que estiver fora das chaves.

1.1.2. TERMO GERAL DA PA

Fórmula => a_n = a₁ + (n - 1) * r => Sendo:

a₁ = primeiro termo da PA

a_n = termo geral ou último (enésimo) termo da PA

n = Número de termos da PA

r = razão =>  r = a_n - a_n-1

1.1.3. SOMA DOS TERMOS DA PA

Fórmula => Sn = [(a₁ + a_n) * n] / 2 => Sendo:

S_n = somatório = Σ

a₁ = primeiro termo

a_n = último termo

n = número de termos

1.1.4. EXEMPLO DE PA

O mais elementar exemplo de PA é que se apresenta automaticamente quando estamos aprendendo falar os números nos nossos primeiros anos de vida. Então, começamos por uma PA de razão 1 em que o primeiro termo é o número 1.

a₁ = 1 ; a₂ = 2 ; a₃ = 3 ; a₄ = 4 ; a₅ = 5 ; a₆ = 6 ; ... ; a_n-1 ; a_n = último termo ou  enésimo termo da PA

Sendo a razão = 1, ou seja, r =1, teremos:

a1	a1+r= a2	a2+r= a3	a3+r= a4	a4+r= a5	a5+r= a6	...	an-2	an-2+r = an-1	an-2+r=  an
1	(1+1)=2	(2+1)=3	(3+1)=4	(4+1)=5	(5+1)=6	...	an-2	an-1	an

1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9 <= Trata-se de uma PA de 9 termos cujo primeiro termo é 1 e a razão é 1.

Pergunta-se:

1. Quando a PA é Crescente? A razão tem valor positivo
2. Quando a PA é Decrescente? A razão tem valor negativo
3. Quando a PA é Constante? A razão é zero
4. Qual é o 5º termo dessa PA?
5. Qual é a soma dos 5 primeiros termos dessa PA?

Quinto termo da PA: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5

a₁ = 1 >>> a_n = 5 >>> n = 5 >>> r = 1

a_n = a₁ + (n - 1) r >>> a₅ = 1 + (5 - 1) * 1 >>> a₅ = 5

Soma dos termos da PA: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5

S_n = [(a₁ + a_n) * n] / 2 >>> S₅ = [(1 + 5) * 5] / 2 >>> S₅ = 15

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA
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FÁCIL E RÁPIDO POR SANDRO CURIÓ

1.2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

1. NOTA DO COSIFE
2. TERMO GERAL DA PG
3. SOMA DOS TERMOS DA PG
4. SOMA DE INFINITOS TERMOS DA PG

1.2.1. NOTA DO COSIFE

Aqui as fórmulas são apresentadas como nas Planilhas e nas Máquinas Calculadoras Eletrônicas. Essa nova forma de apresentação as expressões leva em conta que estamos na ERA DIGITAL. Logo, o * (asterisco) representa a multiplicação e a / (barra) representa a divisão.

As expressões algébricas ficarão entre {  [  (  )  ]  } começando-se a resolução do problema pelo que estiver dentro dos ( parênteses ), depois, dentro dos [ colchetes ], em seguida pelo que estiver dentro das { chaves } e, por último, pelo que estiver fora das chaves.

1.2.2. TERMO GERAL DA PG

a_n = [ a₁ * q^{(n - 1)}]  Sendo:

a₁ = primeiro termo da PG (Progressão Geométrica)

a_n = último termo da PG

n = Número de termos da PG

q = quociente ou razão  =>  q = ( a_n / a_n-1 )

1.2.3. SOMA DOS TERMOS DA PG

S_n = [ a₁ * (qⁿ - 1)] / ( q - 1 )

a_n = Termo Geral = enésimo termo

a₁ = primeiro termo

q = quociente ou razão

S_n = Soma dos n primeiro termos

1.2.4. SOMA DE INFINITOS TERMOS DA PG

S  = [ a₁ / ( 1 - q ) ] sendo:  -1 <  q  < 1

EXEMPLO: SISTEMA BINÁRIO

Nos dias de hoje a mais corriqueira utilização da PG está no sistema BINÁRIO utilizado na área da INFORMÁTICA,  nos Computadores Eletrônicos e também usada nos chamados de Computadores Pessoais ou PC = Personal Computer.

Lembre-se que nos primeiros computadores pessoais os comandos tinham 8 bits, ou seja, o número de termos da PG representativa do sistema binário era 8 = n ou igual a_n que é o último termo da PG. Assim cada grupo de 8 bits corresponde a 1 byte.

Depois surgiram os computadores de 16 bits. Passados alguns anos surgiram os computadores de 32 bits e em 2015 já existiam os computadores pessoais de 64 bits.

No sistema BINÁRIO a razão (r) = 2,  a₁ = 1 e nos computadores de 8 bits o último termo da PG = a_n = 128

A PG do sistema binário dos mais antigos computadores pessoais tinha 8 termos (bits). Vejamos:

PG = 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 cuja soma dos termos é igual a 255.

Isto significa que no sistema binário a soma desses oito dígitos (efetuada de forma organizada) gera outros números que intercalam a sequência original num total de 255 combinações. Essas combinações geravam os números de 1 a 9, geravam as letras minúsculas e as maiúsculas e ainda geravam os demais caracteres existentes nos teclados das máquinas de escrever.

Para potenciação da PG (do sistema binário), tendo a razão 2 como base, colocamos como expoentes os números de 0 a 7. Vejamos: 2⁰ = 1 ; 2¹ = 2 ; 2² = 4 ; 2³ = 8 ; 2⁴ = 16 ; 2⁵ = 32 ; 2⁶ = 64 ; 2⁷ = 128.

Vejamos como ficam esses números na tabela abaixo:

1	2	4	8	16	32	64	128
20	21	22	23	24	25	26	27

No sistema binário o 0 (zero = célula vazia) significa apagado (desligado) e o 1 (um) significa aceso (ligado). Como o sistema binário baseia-se numa PG de razão 2 cujo primeiro termo é 1, a soma dos termos (bits acesos, representados pelo número 1 em vermelho na tabela abaixo) resultam no número que está na linha horizontal superior de cor cinza. A coluna cinza à esquerda apresenta cada um dos 8 bits do sistema binário básico com seu correspondente valor. Cada grupo de 8 bits corresponde a 1 byte.

	1	2	3	4	5	6	7	8	15	31	41	51	55	63	200
1=1	1		1		1		1		1	1	1	1	1	1
2=2		1	1			1	1		1	1		1	1	1
3=4				1	1	1	1		1	1				1
4=8								1	1	1	1			1	1
5=16										1		1	1	1
6=32											1	1	1	1
7=64															1
8=128															1

A PG do sistema binário evoluído tinha 16 bits. Vejamos:

1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1024 ; 2048 ; 4096 ; 8192 ; 16384 ; 32768 cuja soma de combinações possíveis à igual a 65.535 combinações.

Potenciação da PG: 2⁰ ; 2¹ ; 2² ; 2³ ; 2⁴ ; 2⁵ ; 2⁶ ; 2⁷ ; 2⁸ ; 2⁹ ; 2¹⁰ ; 2¹¹ ; 2¹² ; 2¹³ ; 2¹⁴ ; 2¹⁵

Vejamos como ficam na tabela abaixo:

1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	210	211	212	213	214	215

Com esse maior número de combinações possíveis, foram adicionados ao sistema binário letras e caracteres utilizados em muitos outros idiomas.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - PG
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FÁCIL E RÁPIDO POR SANDRO CURIÓ

2. INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES - OPINIÃO PESSOAL

1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
2. EXPLICAÇÕES, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS DO SITE BRASIL ESCOLA - UOL

2.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

Por Américo G Parada Fº - Contador - Coordenador do COSIFE

Estas páginas relativas aos Conhecimentos Bancários e aos Conhecimentos Específicos de alguns funções do servidor bancário também destinam-se a Contadores, Auditores Internos e Independentes e a Peritos Contábeis, entre outros profissionais de nível médio e superior.

Veja também:

1. Progressão Aritmética - Propriedades Úteis na Resolução de Problemas (Educação - UOL)

2.2. EXPLICAÇÕES, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS DO SITE BRASIL ESCOLA - UOL

1. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - Explicações e Exemplos - Exercícios
2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA - SOMA DOS TERMOS - Explicações e Exemplos - Exercícios
3. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA - SOMA DOS TERMOS - Explicações e Exemplos - Exercícios
4. PROGRESSÕES - Explicações e Exemplos - Exercícios
5. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS - Explicações e Exemplos - Exercícios
6. PROGRESSÃO ARITMÉTICA - TERMO GERAL - Explicações e Exemplos - Exercícios
7. PROGRESSÃO ARITMÉTICA - SOMA DOS TERMOS - Explicações e Exemplos - Exercícios